一百多年前，流體力學界百花齊放：從歐拉和伯努利家族的相遇相知；到納維遇見斯托克斯成就的白月光；再到布辛涅司克和雷諾共同開啟的現代流體力學之門…一個個星光熠熠的名字將流體力學的研究推向了前所未有的高度。他們在研究過程中留下了許多經典，值得我們細細品味。本公眾號將由此開始，為大家帶來一系列流體力學的“古文賞析”。

1884年3月28日，也就是經典的雷諾染色實驗的第二年，雷諾受邀來到英國皇家科學院，為學者們帶來了一場精彩的報告，題目為 “水流的兩種形式”。而同年五月，雷諾的講座內容即被整理成文章，并刊發于《Nature》。下面為其講演的主要內容，為了便于理解，筆者添加了一些小標題和配圖。

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理論的局限

盡管最優秀的數學家付出了巨大的努力，但流體運動的理論仍然無法完全描述實際的流動，而我們并不知道其中的原因。描述流體運動的理論看上去很完整，但是許多情況下，理論的結果和實際卻完全不同。如果我們研究雨滴在空中運動的情況，理論能夠得到準確的阻力結果。但是如果研究一艘在水中行駛的船，理論計算的阻力結果將和實際常常不一致。而更麻煩的是，我們不知道為什么流體運動的理論適合某些情況卻不適合另外一些情況。

七年前，我很榮幸的在這個房間和大家分享過有關旋渦運動的話題。我一直認為，流體運動的理論之所以不夠成功，是因為水是均勻清澈的，空氣也是透明的，我們看不到任何流體內部的運動。有學者通過對水進行部分著色來顯示渦環現象，但是無法全面的展示流動。現在，我大膽的使用了一種全新的方法，我自己稱它為“色帶法”，這種方法或許能夠幫助我們揭示更多流體運動的謎題。

今晚，我會和大家分享部分驗證結果。

首先，為什么流體運動的理論不能像固體一樣獲得成功呢？答案很簡單，通常情況下，固體沒有內部運動，固體力學的理論基于內部相對靜止的假設，并適用于全部的情況。但是，如果存在某類物體，它有內部運動，通過簡單的實驗就可以表明實際情況和運動定律的不一致。

如果一個物體被一個繩子懸掛著，大家都知道它會垂直于在懸掛點之下，或者像鐘擺一樣擺動。但是如果這個物體中間有一個很重的旋轉輪，其運動情況則完全不同，它運轉起來像個陀螺。

如果這樣的物體廣泛存在于大自然，那么我們就無法定義規律。例如，蘋果具有某種性質，而梨具有另外一種性質，那么運動規律就無法被發現，或者即使發現了梨的運動規律，也無法應用于蘋果，這樣的理論當然很難令人滿意。

而流體就是這種情況。

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兩種運動方式的類比

今天的主題是水的兩種運動方式，并不是說水只有兩種運動可能。從一般外觀看，水的運動方式是無窮無盡的。

我希望將要展示的現象本身會引起大家的興趣，不過現象背后的哲學興趣或許是更加值得深思。流體運動問題可以分為兩類，一類是理論結果和實驗一致的問題，另一類是完全不同的問題。認識到流體存在兩種內部運動形式非常重要，因為我們當前的理論只適用于第一類運動。

我們可以通過類比來解釋。大家或多或少都了解軍隊的運動情況，我們可以將軍事戰術理論和軍隊運動之間的關系與水動力學理論和水的運動之間的關系進行類比。

軍事戰術只能適用于紀律嚴明的行動，但外界干擾其秩序時，軍隊就會采取另一種運動方式。反觀水流的狀態：在某些情況下，會以一種完全直接，有紀律的方式運動，而在其他情況下，它會變成大量的漩渦和橫流，就好像被暴民沖散的軍隊。

我們還可以進一步的類比：決定軍隊的運動是規則還是混亂的情況與確定水的運動是筆直還是曲折的情況非常相似。在這兩種情況下，秩序都有一定的影響：對軍隊而言，是紀律；對于水則是粘性。軍隊的紀律性越好，或流體的粘性越強，在任何情況下穩定運動受到干擾的可能性就越小。

另一方面，更大的運動速度和尺度都會使軍隊和水流更不穩定。軍隊越大，行進速度越快，混亂的機會就越大；而對于流體，流動通道越大，速度越快，渦流產生的機會就越大。

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穩定性與擾動

對于軍隊而言，不同行進狀態的穩定其實也是不同的。在閱兵式上行進的時候幾乎是絕對安全的，而在敵人面前則很容易陷入完全混亂的狀態，水流也是一樣的。即使兩個流動的狀態都顯示是穩定的，但也可能存在根本的差異。對于軍隊來說，如果一切順利的話，兩種不同難度的演習可能都以穩定的方式進行。但是軍隊的穩定條件本質上是不同的：對于簡單的演習，任何輕微的不協調都很容易得到糾正，而在另一種復雜情況下，它將不可避免地導致混亂。

這種運動方式變化的根源，可以歸結為機動性的影響和令人不安的擾亂。在極端微妙的情況下，一個無限小的干擾都可能引起變化。因此，我們可以把軍隊在簡單演習中的狀態描述為穩定，而在困難演習中的狀態描述為不穩定的，即在最小的擾亂中就會崩潰。小擾亂是崩潰的直接原因，正如聲音有時是雪崩的原因一樣，但這種崩潰的發生，不穩定的狀況才是變化的真正原因。

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基于色帶的分析

水的流動類似于上述分析。假設沒有擾動，水會以理論中所指出的方式運動。但由于總是有一些輕微的干擾，只有當穩定運動的條件或多或少是穩定的時候，穩定才能存在。

我們需要知道流動在不同情況下是否穩定，而色帶法能很好的將兩種流動狀態區分開，這將有助于改善流體力學理論中一直以來令人不太滿意的地方。

首先，它表明所有流體的粘性有利于流動穩定，而尺度和速度則具有相反的影響。同時，這些因素的影響服從一個完全確定的規律，即當速度和尺度的乘積除以粘度達到某一特定值時，流動變得不穩定。這條定律解釋了迄今為止大量看似矛盾的現象。還有一個普遍的結論，即如果速度足夠慢，所有的流動方式都是穩定的。

通過在充滿液體的靜止燒杯中注入有色顏料，可以很好地顯示粘度的影響。當一切完全靜止時，將燒杯繞其軸線緩慢轉動。燒杯轉動時，液體并不會大幅運動，但靠近壁面的有色液體被拖拽形成一個長長的污跡。而只需將燒杯轉回去，污跡就會倒流，直到色帶恢復原始位置。根據前述的理論，在整個轉動過程中，運動是相當穩定的。

 旋轉內側燒杯產生的混色與恢復 

當水流穩定時，它就好像一股清澈的水柱。沿著管道流動的水就是這樣一條水柱。管道內的水流是以固體壁面為界限的，但是如果水是穩定流動的，我們可以想象水被理想的管道分成一系列無限小的水柱，其中任何一條都可以著色而不改變它的運動，就像一個步兵縱隊可以用顏色區別于另一個步兵縱隊一樣。

如果流動存在內部運動的話，我們就不能把被管道包圍的整個流動看作是一個穩定的水柱，因為水不斷地從管壁的一側流到另一側，就像我們無法在劇院的走廊里分辨出人群中的彩色條紋一樣。固體壁面對于水柱的形成并不是必須的，噴泉的水流由自由表面包圍，而河流則是部分被固體表面環繞。

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臨界速度的秘密

很長一段時間以來，人們注意到，注入靜止流體的流動常處于不穩定狀態，也正是這種不穩定性使得火焰和噴流對聲音引起的輕微擾動非常敏感。

我現在打開水龍頭，以便讓一股穩定的有色水流從上面的管子進入，水流從下面的管子流出。彩色的水流筆直地穿過容器，看不到任何其他的運動，它看起來像一根紅色的玻璃棒。然而，紅色的水流動緩慢，因此粘度的影響最大，而水流是穩定的。隨著速度的增加，水流中出現了某種蠕動的、蜿蜒的運動；再快一點，水流就會分裂成美麗而清晰的漩渦，并擴散到周圍的水中，這些漩渦隨著顏色變得不透明，逐漸給實驗蒙上了一層面紗。

毫無疑問，水流的最終破裂是由儀器中的一些輕微振動決定的。但這種振動一直存在，直到水流處于一個足夠不穩定的狀態時，它才對水流產生影響。對于給定尺度和粘度的流動，如果流動速度足夠慢，流動就是穩定的。然而在一定的臨界速度下，水流將變得不穩定。

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收縮與擴張通道

當今實驗流體力學中還有個引人注目的事實，即水沿著收縮和擴張通道流動的方式不同。水進入的管口是寬的，先收縮一段時間，然后再逐漸膨脹，直到和管口一樣寬。進入收縮段以后，流動是穩定的，色帶保持其清晰的條紋狀特征，直到它到達頸部，在那里收斂停止；然后進入擴張的通道，色帶逐漸分裂成漩渦。因此，收縮通道有助于流動穩定，而擴張通道則相反。

大家現在看到的現象和船舶在水中行駛并沒有什么不同。我們可以假設船是固定的，水流過船身，這和船在水中行駛的效果是一樣的。在船的前部，水流是穩定的，因為船體形成了一個收斂的通道。然而，隨著水流向船尾，流動擴張形成了不穩定的渦流，這些渦流解釋了船舶行駛的阻力和理論計算結果的差異。

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兩種流態的阻力差異

如果我們有一個平行通道，既不收縮也不擴張，那么穩定的流動將是一堆穩定的平行流，它們都在流動，但速度不同，中間部分的流動速度最快。

眾所周知，水流會遇到阻力。在河流和所有適中尺寸的管道中，一般經驗表明阻力隨著速度的平方而增加，而在非常小的管道中，如動物的靜脈，泊肅葉證明阻力隨著速度而增加。因此，對于不穩定的紊亂流動來說，阻力和速度的平方相關，而平直的溫和流動中，阻力和速度相關。

那么如果能夠證明根據管道尺寸，在足夠大的速度下，運動變得不穩定，則可以解釋這種差異。而我們的色帶實驗恰好證明了這一點，當流速很低的時候，流動是非常穩定的，隨著速度的增加，色帶自然變得更細，但當達到一定速度時，色帶變得不穩定，并與周圍充滿管道的流體混合。這種蜿蜒的運動是在一定的速度時發生的，如果把速度減得很小，色帶又會變得筆直而清晰，再增加一次，色帶又會破裂。這個臨界速度取決于管子的大小，以精確的反比表示，管子越小，則需要的速度越大。而流體的粘性越大，需要速度也就越大。

至此，我們完整的解釋了一般情況下的阻力結果和泊肅葉所發現的阻力定律之間的差異。

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油阻波的一種解釋

我們還可以提供完整的證據來證明固體表面之間的穩定流仍然存在一定的不穩定性，然而這種不穩定性的原因尚未完全確定。可以肯定的是，盡管壁面的側向剛度并不重要，但平行于流動的切向剛度對于渦流的產生至關重要。

我無法向各位展示這一點，因為我們能夠創造的唯一方法是在水面上吹風。當風吹過水面時，它會像移動的固體壁面一樣向水表面傳遞運動。以這種方式運動的水體內部不易受渦流影響，但它的表面并不穩定，會生成波浪。

一個非常古老的實驗證明了這一點，最近也引起了大家的注意：如果把油放在水面上，它會散布成僅具有固體表面特征之一的無限薄的薄片，它提供的阻力很小，但仍能抵抗伸縮，并足以完全改變流動的性質。風的作用使水面以下產生旋渦，它使水體內部不穩定，但不在表面產生波浪。

對于那些觀察到油阻波現象的人來說，在整個力學領域可能沒有什么比這更讓人震撼的了。一層如此薄的油膜，我們無法說明其厚度，并且除了它的效果外，其他無法感知。它不具有我們所能察覺到的機械性能，但卻能夠阻止一種我們所能想象到的最強大的力量——這種力量能夠使我們的船只翻倒并破壞海岸。

然而，當我們意識到油并不是純粹靠力量使海洋平靜下來，而僅僅是通過改變了風的作用所產生的流動方式，使之從海面可怕的波浪轉變為海面以下無害的漩渦時，這一點就變得可以理解了。

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尺度問題的延拓

如果我們考慮水以外的其他流體，比如油或糖漿，顯然比水流動得更慢更穩定。然而，這只是在較小的流動尺度中。如果大自然產生了泰晤士河大小的糖漿河，糖漿就會像水一樣容易流淌。因此，在火山噴發的熔巖流中，盡管熔巖有著布丁般的稠度，但在山下巨大而快速的流動中，熔巖像水一樣隨著漩渦流動。

后記

盡管在一百多年前，人們還不知道層流、湍流和轉捩這些概念，雷諾數也未正式命名。可是，雷諾卻通過簡單的設備向我們完整的展示了流態的變化，并闡述了流體力學理論和實際流體運動之間的關系，即便在今天讀來，仍然帶給我們很多思考。

著名的空氣動力學家庫奇曼曾說過：“每一種具體的理論都是暫時的，而對流動本質的理解卻是永恒的”。我們也希望在后續能夠從更“流體”的角度為大家呈現更多的內容。